Renovación de bienes no durables

En varias ocasiones nos gustaría conocer cuando es el momento preciso para renovar un producto o activo.

En este post veremos un acercamiento mediante modelamiento matemático a este problema

Definiciones

Problema: ¿Cuál es el momento óptimo para renovar un celular?

El punto óptimo es el que minimiza los costos totales

Costo Total = Costo financiero + Costo de Usabilidad

Costo financiero: Es el costo de desembolsar una cantidad x de dinero en el instante t

La forma de modelarlo es considerarlo como la evaluación económica de una proyecto

(flujo de caja descontado por la tasa de interés)

Este costo es decreciente en el tiempo; mientras más espere a renovar mi teléfono, menor será mi VAN (Valor Actual Neto).

 Considerando solo este costo, debería esperar la mayor cantidad de tiempo posible antes de renovar mi teléfono.

Costo de usabilidad: Es el costo asociado a la experiencia de usuario en el tiempo t.

Este costo es creciente en el tiempo; mientras más espere a renovar mi teléfono tendré mayores problemas por concepto de usabilidad hasta llegar a un teléfono completamente obsoleto.

Considerando solo este costo, debería renovar mi teléfono lo más seguido posible para mejorar mi experiencia de usuario.

Modelamiento del costo financiero

Necesitamos primero conocer la función de precio del teléfono a través del tiempo.

De acuerdo a los sitios X e Y tenemos el siguiente historial de precios

P(t) = e^{\alpha + \beta t }

Conociendo los valores en t = 0 y t = 2.5, podemos encontrar alfa y beta

P(t=0) = Pi , P(t=2.5) = \frac{Pi}{2}

Tenemos además que:

Pi: Precio inicial del teléfono comprado

(Pi – P(t)): Precio a pagar para renovar el teléfono, vendiendo previamente el actual a P(t)

(Pi – P(t)) * (1 + i) ^ { t } : Interés ganado al renovar el teléfono en el tiempo t

Entonces, la función que representa el flujo de caja es

FC(t) = – Pi – (Pi – P(t)) + (Pi – P(t)) * (1 + i) ^ { t } : .

FC(t) = – Pi – (Pi – e^{\alpha + \beta t } ) + (Pi – e^{\alpha + \beta t } ) * (1 + i) ^ { t } : .

FC(t) = \left(-Pi+\left(e^{\left(\ln\left(Pi\right)+\ln\left(0.5\right)\cdot x\cdot\frac{2}{5}\right)}-Pi\right)+\left(Pi-e^{\left(\ln\left(Pi\right)+\ln\left(0.5\right)\cdot x\cdot\frac{2}{5}\right)}\right)\cdot\left(1+0.05\right)^{\left(x\right)}\right)

Esto representa una función de beneficio. Para convertirla en una función de costo simplemente multiplicamos la función por -1

Modelamiento del costo de usabilidad

Definiciones

La disposición (representada por e) a pagar es un factor de toma valores entre 0 y 1 e indica la disponibilidad a pagar de cada persona por el teléfono de más alta gama

Suposiciones

El costo de usabilidad crece exponencialmente

El teléfono de más alta gama demora 6 años en quedar obsoleto desde el instante en que sale a venta por primera vez

El costo de usabilidad inicial es proporcional a la diferencia entre el precio del teléfono a comprar y el precio del teléfono de más alta gama

La función que representa el costo de usabilidad es de de la forma Cu(t) = e^{\alpha + \beta * t }

Conociendo los valores en t = 0 y t = 6, podemos encontrar alfa y beta

Cu(t=0) = \epsilon * (PAG – Pi) .

Cu(t=0) = PAG * ( \frac{PAG}{Pi})

Se puede concluir que al despejar los valores de alfa y beta, la función de costo de usabilidad es la siguiente

Cu(t) = e^{\ln\ \epsilon \ \left(PAG\ -\ Pi\ +\ 1\right)\ -\ \frac{\ln\left(PAG\cdot\frac{PAG}{Pi}\right)-\ln\ \epsilon \ \left(PAG\ \ -\ Pi\ +\ 1\ \right)\ t}{6}}

Minimizando el costo total 

Considerando que ambas funciones representan costos, sumaremos ambas funciones (costo total) para luego buscar  algún mínimo 

CT(t) = Cf(t) + Cu(t) 

Encontrando el valor óptimo 

Para graficar esta función, tomaremos los siguientes valores iniciales 

Pi = PAG = 700 (El valor del teléfono inicial a comprar es igual al teléfono de más alta gama) 

\epsilon : (Máxima disposición a pagar por el teléfono de más alta gama). Toma valores entre 0 y 1

  CT(t) = -\left(-700+\left(e^{\left(\ln\left(700\right)+\ln\left(0.5\right)\cdot t\cdot\frac{2}{5}\right)}-700\right)+\left(700-e^{\left(\ln\left(700\right)+\ln\left(0.5\right)\cdot t\cdot\frac{2}{5}\right)}\right)\cdot\left(1+0.05\right)^{\left(x\right)}\right)+e^{\left(\ln\left(700-0+1\right)\ +\ \frac{\left(\ln\left(700\cdot\frac{1}{2}\right)-\ln\left(0.5\cdot\left(700-0+1\right)\right)\right)\cdot t}{7}\right)}   

Utilizando las funcionalidades del sitio https://www.desmos.com/calculator podemos encontrar las gráficas y puntos óptimos rápidamente

Función 1: Costo financiero en color morado

Función 2: Costo de usabilidad en color negro

Función 3: Costo total en color rojo

Se puede apreciar que el punto óptimo es t = 3.231. Es decir, debiese renovar mi teléfono cada 3 años y 1 mes bajo los parámetros antes considerados